נחשון אינדיג

נחשון אינדיג

סטודנט/ית לתואר דוקטור

nahshon@campus.technion.ac.il

יוסי בן-אשר
הנחייה מרחבית תחת אילוץ זוויתי תת אופטימאלית בתנאי טיסה אטמוספריים

הנחייה מרחבית תחת אילוץ זוויתי תת אופטימאלית בתנאי טיסה אטמוספריים

 תקציר הצעת מחקר לתואר שלישי

מטרת המחקר לפתח חוקי הנחיה מרחביים בסביבה אטמוספרית אשר מביאים את המיירט לנקודה רצויה במרחב בכפוף לאילוצים זוויתיים בצורה אופטימאלית, תחת קריטריוני טיב שונים ( מינימום זמן, מקסימום מהירות, מינימום מאמץ בקרה).

בתחום זה של חוקי הנחיה בכפוף לאילוץ זוויתי נעשו מחקרים רבים, אולם תחת הנחות מקלות. רוב המחקרים התייחסו לתרחישי יירוט מישוריים, הזניחו את האווירודינמיקה (הנחת טיסת וואקום), ופתרו את הבעיה תחת קריטריון טיב של מזעור מאמץ הבקרה. הרצון לפישוט הבעיה גרם לא אחת לירידה חדה בביצועים כאשר מופעלים החוקים בתנאי טיסה אמיתיים.

בחלק הראשון של המחקר  ננסה לפתור את הבעיה המישורית של הגעה באילוץ זוויתי תחת קריטריון טיב של מינימום זמן. בעיה הידועה על שם החוקר דובינס [1], אשר בעקבותיו נפתרה הבעיה במגוון שיטות גיאומטריות, לדוג' [2] [3]. עם התפתחות תורת הבקרה האופטימאלית ניתן היה להגיע לעקרונות הפתרון בכלים התיאורטיים של תורת הבקרה[4].

הוספת המודל האווירודינמי לדינמיקת הבעיה הופכת אותה למורכבת ביותר, הבעיה נחקרה בעבר ע"י [5]. החידוש  בחלק זה יהיה הצעת  גישת הנחיה תת אופטימאלית  בחוג סגור  לבעיה מורכבת זו.

בהמשך, נעסוק בבעיה המרחבית הלא לינארית תחת אילוץ זוויתי סופי ובהנחת טיסת וואקום תחת קריטריון טיב של מינימום זמן. לבעיה הוצעו בעבר מספר פתרונות אשר הינם תת אופטימאליים[7] [8] [9]. הפתרון האופטימאלי לבעיה הוצג רק לאחרונה [10] ללא הוכחה פורמאלית לאופטימאליות הפתרון. המחקר ינסה להציע פתרון  שונה ויעיל מתמטית ביחס לפתרון הקיים, המחקר גם יבחן את הפתרון בכלים של הבקרה האופטימאלית (קיום תנאי המינימום).  הבעיה תורחב גם למקרה של  בתנאי טיסה אטמוספריים תחת קריטריון טיב של מינימום זמן. בעיה זו לא נידונה בספרות. המחקר ינסה להציע גישת הנחיה לבעיה זו.

לבסוף, נרחיב את הבעיה למקרה קשה יותר בו נדרש להגיע באילוץ  זוויתי מרחבי סופי ((Terminal Angular Manifold אשר בדרך כלל  צורתו הגיאמטרית היא קונוס,  תחת קריטריון של מינימום זמן. בעיה זו נידונה לראשונה במחקר קודם שלנו בנושא זה [6] תחת קרטריון טיב של מקסימום מהירות. המחקר ינסח לראשונה את הבעיה ויציע גישת הנחיה אופטימאלית עבור טיסת וואקום, וגישת הנחיה תת אופטימאלית עבור טיסה בתנאים אטמוספריים.

בחלק השני של המחקר נוסיף בקר דחף למודל המתימטי כך שמתקבלים  שני בקרים בקר התאוצה ובקר הדחף. בעיה זו נידונה מעט מאוד בספרות והמחקר יראה את הפוטניאל הגדול הטמון בשילוב של שני בקרים אלו.

אחת ההנחות המקובלות שנועדו לפשט את הסיבוכיות הגדולה במודל הדינמי השלם של מרדף בין מיירט למטרה היא להניח שהמיירט מתחיל את המרדף במהירות התחלתית נתונה, הבקר במקרה זה היא פקודת התאוצה בלבד. תחת הנחה זו נכתבה ועדיין נכתבת המסה העיקרית של המחקרים בתחום ההנחיה. גם אנו במחקרים קודמים לדוג' [6], [15] השתמשנו במתולוגיה זו. דוגמא נוספת בהקשר זה יכולה להיות עבודתם של צ'נג ו גופטה [16]  שפתחו חוק הנחיה לטיל אויר אויר טקטי, בשיטת ההפרות הסינגולאריות אולם בהנחה שהדחף קבוע וקצב ירידת המסה גם הוא קבוע.

בעיית השימוש בדחף כבקר בודד (ללא בקר פקודת התאוצה)  נחקרה לראשונה ע"י גודרד[17] בשנת 1919 ונחשבת לאחת הבעיות המפורסמות בנושא. המחקר חיפש את הגובה המקסימאלי בטיסה אנכית המתקבל ע"י בקר הדחף האופטימאלי. בדרך כלל נח לנסח את הבעיה כ   TPBVP על מנת שנוכל להפעיל את הכלים התיאורטיים של הבקרה האופטימאלית ועקרון המינימום. כאשר אנו מזניחים את כח הגרר ניתן להראות בצורה אנליטית [18]  שפרופיל הדחף האופטימאלי המתקבל מתחיל במקסימום דחף עד לסיום הבערה ואז יורד לדחף אפס. בהוספת כח הגרר אנו מקבלים גם פתרון  סינגולרי כפי שנפתר ב [19].

בעיה דומה בהגדרתה הלא לינארית  נחקרה ע"י וייזר ואחרים [20] אולם, בהנחה שמדובר בכלי טייס עם מסה לא משתנה , ודחף אין סופי.  הבעיה נפתרה בצורה מרחבית עבור קריטריון טיב של מינימום זמן בלבד כאלגוריתים זמן אמת,  בשיטת ההפרות הסינגולאריות.

מספר חוקרים חקרו את בעיית המנוע הדו פולסי על מנת למקסם ביצועים. צינג ואחרים[21] השתמשו בהפרות סינגולאריות על מנת לפתח אלגוריתם שממזער את זמן ההגעה ע"י  בקרת הפולסים. במחקרם הם הראו שהאלגוריתם שפותח נותן ביצועים טובים יותר בהשוואה למנוע רציף. קלסי ואחרים[22]   חישבו את לוגיקת הפעלת הפולסים המיטבי עבור קריטריון טיב של מיקסום המהירות הממוצעת תוך הנחת גובה טיסה קבוע.  במחקר נוסף של קלסי ונג'י[23] תוך הנחת עוצמת הפולס ומשכו חושבו התנאים הנחוצים לקיום הפתרון האופטימאלי.

במחקרם של אימדו ואחרים[24] נפתרה לראשונה בצורה נומרית הבעיה המישורית הלא לינארית  עבור קריטריון טיב של מיקסום המהירות בפגיעה. בהמשך נבדק הפער בין ביצועי מנוע דו פולסי לתוצאות האופטימאליות שהוצגו.

במחקר זה נרחיב את הפתרון האופטימאלי עבור הבעיה הלא לינארית  המישורית עבור מגוון קריטריוני טיב, מינימום זמן מקסימום מהירות ומקסימום טווח. כפי שנראה הפתרון  האופטימאלי עבור בקר הדחף שונה בתכלית עבור משפחות שונות של קריטריוני טיב. בהמשך יורחב הפתרון למקרה בו קיים אילוץ זוויתי. שימוש בעקרון פרטו הנגזר מתיאוריית האופטימיזציה הקונווקסית [25]  מאפשר להבין בצורה מלאה מהי היריעה שמאגדת את אוסף הפתרונות האופטימאליים עבור שלושת קריטריוני טיב במקביל.

בחלק האחרון ננסה לפתח בצורה אנליטית את התנאים  לפתרון האופטימאלי  לבעיית גודרד הדו מימידית.

מקורות

 

[1]   Dubins, L.E., “On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and with prescribed initial and terminal positions and tangents," American Journal of Mathematics, 79(1957)  497-516.

[2]  Tsourdos, A., White, B., and Shanmgaval, M.,   Cooperative Path Planning of Unmanned Aerial Vehicles, AIAA Volume 235, 2011, pp32-62.

[3]   Sussmann, H., and Tang, G., “Shortest paths for the Reeds-Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control," Technical Report, Department of Mathematics, Rutgers University, 1991.

[4]   Shapira, I., “2D Optimum time trajectories of unmanned aircraft," Research Thesis, Department of Electrical Engineering, Tel Aviv University, 1995.

[5]   Ben-Asher, J.Z., “Optimal Trajectories for an Unmanned Air-Vehicle in the Horizontal Plane"  Journal of  Aircraft, Vol. 32, No. 3, May-June  1995,  pp. 677-680.

[6]   Indig, N., Ben-Asher, J.Z., and  Farber, N., "Near-Optimal Spatial Mid-Course Guidance Law with Angular Constraint ," Journal of  Guidance, Control, and dynamics, Vol. 37, No. 1(2014),  pp. 214-223.

[7]   Shanmgaval, M., Tsourdos, A., White, B.,  and  Zbikowski, R., “Differential Geometric Path Planning of Multiple UAVs"  Journal of  dynamic systems, Measurement, and Control, Vol. 129, September  2007,  pp. 367-380.

[8]   Shanmgaval, M., Tsourdos, A., Zbikowski, R.,  and  White, B., "3D Dubins sets based coordinated Path planning for swarm of UAVs," AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, AIAA Paper 2006-6211, 2006.

[9]   Shanmgaval, M., Tsourdos, A., Zbikowski, R.,  and  c "3D path planning for multiple UAVs using Pythagorean Hodograph cureves ," AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, AIAA Paper 2007-6211, 2007.

[10]  Hota, S., and Ghose, D., "Optimal Geometric Path in 3D with Curvature Constraint ," IEEE  International  Conference on Intelligent Robots and Systems  , October 18-22, 2010, Taipei, Taiwan.

[11]        Ben Asher, J.Z., Optimal Control Theory with Aerospace Applications, AIAA educational series, 2010, pp150-161.

[12]       Rantoo, A., Hayoun, S.Y., and Shima, T., "Path Following Trajectory Shaping Guidance," 53 Israel Annual Conference on Aerospace Sciences, Tel-Aviv & Haifa, February 28-29, 2012, Israel.

[13]       Ohlmeyer, E.J., and  Phillips, C.A., “Generalized Vector Explicit Guidance,"  Journal of  Guidance, Control, and dynamics, Vol. 29, No. 2, March-April  2006,  pp. 261-268.

[14]        Ben Asher, J.Z., Optimal Control Theory with Aerospace Applications, AIAA educational series, 2010, pp150-161.

[15]      Indig, N., Ben-Asher, J.Z., and  Farber, N., "Near-Optimal Minimum Time Guidance under a Spatial Angular Constraint in Atmospheric Flight," AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, AIAA Paper 2015-0089, 2015.

[16]           Cheng, V.H.L., Gupta N.K., "Advanced midcourse Guidance for Air to Air missiles" J. Guidance, Vol. 9, No. 2, 1986, pp. 135-142.

[17]           Goddard, R.H.,  “A Method of Reaching Extreme Altitudes,"  Smithsonian Miscellaneous Collections, Vol. 71, No. 2, Publication 2540, 1919.

[18]           Ben Asher, J.Z., Optimal Control Theory with Aerospace Applications, AIAA educational series, 2010, pp. 217-229.

[19]           Tsiotras, P., and Kelley, H.J., "Drag-Law Effects in the Goddard Problem,"  Automatica, Vol. 27, No. 3, 1991,  pp. 481-490.

[20]      Visser, H.G., Kelley, H.J., and Cliff, E.M., "Energy Management of Three-Dimensional Minimum-Time Intercept", Journal of  Guidance, Control, and dynamics, Vol. 10, No. 6(1987),  pp. 574-580.

[21]           Cheng, V.H.L.,  Menon, P.K.A., Gupta, N.K., and  Briggs, M.M., “Reduced-Order Pulse-Motor Ignition Control Logic”, J. Guidance, Vol. 10, No. 4, 1987, pp. 343-350.

[22]           Calise, A.J., and Prasad, J.V.R., "Pulse Motor Control for Maximizing Average Velocity", J. Guidance, Vol. 12, No. 2, 1989, pp. 169-174.

[23]           Calise, A.J., and Nagy,  J., "Necessary Conditions for Optimal Pulse Control", J. Guidance, Vol. 9, No. 1, 1986, pp. 53-57.

[24]           Imado, F., Kuroda, T., and Miwa .S., "Optimal Thrust Control of a Missile with a Pulse Motor", J. Guidance, Vol. 14, No. 2, 1991, pp. 377-382.

[25]           Boyd, S., and Vandenberghe, L., Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004, pp170-195.